Лекция 5 (КОМПЛАН)

Сохраняются основные правила дифференцирования $(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$ , $(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}$ , $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} \cdot g - f \cdot g}{g ^{2}}$ .

Теорема (о производной сложной функции)

Теорема (о производной сложной функции). Пусть $G$ и $E$ - подмножества $C$ , и пусть $f : G \to E, g : E \to C$ , и пусть $f : G \to E$ , $g : E \to C$ , $z_{0}$ и $w_{0}$ - точки (соответствующих) множеств $G$ и $E$ , причём $f (z_{0}) = w_{0}$ (по множествам соответствующих $G$ и $E$ ), то сложная функция $g \circ f$ дифференцируема в точке $z_{0}$ , и имеет место равенство $(g \circ f)_{G}^{'} (z_{0}) = g_{E}^{'} (w_{0}) \cdot f_{G}^{'} (z_{0})$ Без доказательства

Теорема (о производной обратной функции)

Пусть функция $f$ осуществляет взаимно-однозначное отображение множества $E \subset C$ на множество $G \subset C$ . Предположим также, что для точки $z_{0} \in E$ $f (z_{0}) = w_{0}$ , и существует производная $f^{'} (z_{0}) \neq = 0$ .

Тогда, если обратная функция $f^{- 1} : G \to E$ непрерывна, то существует производная $(f^{- 1})^{'} (w_{0}) = \frac{1}{f ^{'} ( z _{0} )}$ .

Доказательство $(f^{- 1})_{G}^{'} (w_{0}) = lim_{w \to w_{0}} \frac{f ^{- 1} ( w ) - f ^{- 1} ( w _{0} )}{w - w _{0}}$ . Можно доказать, что в условиях теоремы точка $w_{0}$ будет предельной точкой множества $G$ . Так как отображение $f : E \to G$ взаимно-однозначно, а обратная функция непрерывна, то $z = f^{(- 1)} (w) \neq = z_{0} = f^{- 1} (w_{0})$ , и при $w \to w_{0}$ будет $z \to z_{0}$ . Поэтому $(f^{- 1})_{G}^{'} (w_{0}) = lim_{w \to w_{0} \in G} = lim_{w \to w_{0}} \frac{f ^{- 1} ( w ) - f ^{- 1} ( w _{0} )}{w - w _{0}} =$ $= lim_{z \to z_{0} \in E} \frac{z - z _{0}}{f ( z ) - f ( z _{0} )} = lim_{z \to z_{0} \in E} \frac{1}{( \frac{f ( z ) - f ( z _{0} )}{z - z _{0}} )} =$ $\frac{1}{f _{E}^{'} ( z _{0} )}$ , то есть $(f^{- 1})_{G}^{'} (w_{0}) = \frac{1}{f _{E}^{'} ( z _{0} )}$ . Теорема доказана.

По определению производной

Геометрический смысл модуля производной

Рассмотрим геометрический смысл модуля производной. Пусть $f^{'} (z_{0}) \neq = 0$ , тогда $f^{'} (z_{0}) = lim_{z \to z_{0}} lim_{z \to z_{0}} \frac{f ( z ) - f ( z _{0} )}{z - z _{0}}$ . Рассмотрим дроби под знаком предела $\frac{∣ f ( z ) - f ( z _{0} ) ∣}{∣ z - z _{0} ∣}$ . Последнюю дробь можно считать растяжением расстояния между точками $z_{0}$ и $z$ при отображении $f$ . Предел модуля этой дроби, то есть $∣ f^{'} (z_{0}) ∣$ можно считать (по определению) растяжением расстояния между $z$ и $z_{0}$ в точке $z_{0}$ . В этом и состоит геометрический смысл модуля производной.

Геометрический смысл аргумента производной

Рассмотрим геометрический смысл аргумента производной. Пусть на комплексной плоскости задана кривая $γ$ уравнением $z = z (t) = x (t) + i y (t)$ , $α \leq t \leq β$ . Пусть в точке $t_{0}$ кривой $γ$ функция $z (t)$ имеет отличную от нуля производную $z^{'} (t_{0}) = x^{'} (t_{0}) + i y^{'} (t_{0})$ . Вектор ${x^{'} (t_{0}), t^{'} (y_{0})}$ будет касательным вектором к кривой $γ$ в точке $t_{0}$ , причём $A r g z^{'} (t_{0})$ равен углу между вектором $z^{'} (t_{0})$ и положительным направлением вещественной оси. Пусть, далее, в точках кривой $γ$ определена функция $w = f (z (t))$ , которая в точке $z_{0}$ имеет отличную от нуля производную $f^{'} (z_{0})$ . Рассмотрим кривую $Г$ , которая определяется уравнением $w = f (z (t))$ , $w_{0}$ = $f (z (t_{0})) = f (z_{0})$ . Для кривой $Г$ в точке $w_{0}$ имеем (по правилу дифференцирования сложной функции) такой касательный вектор: $f^{'} (z_{0}) z^{'} (t_{0})$ . С положительным направлением вещественной оси этот вектор образует угол $A r g (f^{'} (z_{0}) \cdot z^{'} (t_{0})) = A r g f^{'} (z_{0}) + A r g z^{'} (t_{0})$ . Таким образом $A r g f^{'} (z_{0})$ есть угол, на который поворачивается (в направлении против часовой стрелки) касательный вектор к кривой $γ$ в точке $t_{0}$ при переходе от этой кривой к кривой $w = f (z (t))$ и к точке $w_{0}$ на этой кривой. В этом и состоит геометрический смысл аргумента производной.

Теорема (об условиях Коши-Римана). Пусть функция $w = f (z)$ , $w = u + i v$ , $z = x + i y$ , задана в некоторой области $G \subset C$ и принимает комплексные значения. Для дифференцируемости этой функции в точке $(z, y) \in G$ необходимо и достаточно, чтобы в данной точке были дифференцируемы функции $u = u (x, y)$ и $v = v (x, y)$ , и чтобы в точке $(x, y)$ выполнялись равенства(условия или уравнения Коши-Римана): $\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial u}{\partial x}$ Ограничимся доказательством необходимости. Пусть функция $w = f (z)$ дифференцируема в точке $z = x + i y$ . Тогда $f (z + Δ z) - f (z) = f^{'} (z) \cdot Δ z + ε (z, Δ z) \cdot Δ z$ , где $ε (z, Δ) \to 0$ при $Δ \to 0$ . Обозначим $Δ z = Δ x + i Δ y$ , $f^{'} (z) = a + ib$ . Далее, заметим, что $ε (z, Δ z) \to 0$ при $Δ z \to 0$ тогда и только тогда, когда $∣Δ z ∣ = Δ x^{2} + Δ y^{2} = ρ$ ; поэтому $ε (z, Δ z) = ε_{1} (x, y, Δ x, Δ y) + i ε_{2 (\dots)}$ , где $ε_{1}$ и $ε_{2}$ - вещественные функции, и они

Quartz 4

Explorer

Лекция 5 (КОМПЛАН)

Graph View

Backlinks