Лекция 7

Терминальная задача управления $\dot{x}(t)=f(t,x(t),u(t)),x(0)=x_0$ c (по крайней мере) локально липшицевой функцией $f$, в заданное положение $x_1$, где время может быть как задано, так и нет.

Идея простейшего подхода к решению: выьерем какую-то траекторию $x_{\ast }(t)$, для которой $x(0)=x_0$, и $\exists t_1\ge 0:x(t_1)=x_1$

$Q:$ Существует ли $u=Kx:\dot{x}=(A+Bk)x$ - устойчива в нуле? $V(x)=x^{T}Px,P\succ 0$ $(A+BK{)}^{T}P+P(A+BK)=Q,Q\prec 0$ $A^{T}P+K^{T}BP+PA+PBK=Q\forall Q\prec 0$

Так как $P\succ 0$, то $\exists P^{-1}$ и $P^{-1}\succ 0$ $P^{-1}{A}^T+P^{-1}{K}^T{B}^T+A{P}^{-1}+BK{P}^{-1}=P^{-1}Q{P}^P-1$ Пусть $K{P}^{-1}=X$, тогда $P^{-1}K=x^{-1}$ Пусть $Q=-P\alpha$, $\alpha$ - настраиваемый коэффициент

Если ответ на Q1 “да, существует”, то такое $K$ всегда можно найти

Пусть $X$ найден $⟹K=XP$ Теорема Калман-Якубович Попов

1. Линеаризация
2. Запись уравнение Ляпунова для замкнутой системы

Домашнее задание: попробовать этим методом найти какой-нибудь регулятор, который бы делал систему со спутником устойчивым в отклонениях

---

$\mathrm{Re}\lambda (A+BK)<0$ Можно ли подобрать $\mathrm{Re}$? Можно ли их выбрать? На слайде 7 ошибка ${\lambda }^k-b_1{\lambda }^{k-1}-b_2{\lambda }^{k-2}-\cdots -b_k=0$ На слайде 9 тоже ошибка $(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\cdot \cdots \cdot (\lambda -{\lambda }_n)=0$ при ${\lambda }^{n-1}:$ $-{\lambda }_1-{\lambda }_2-\cdots -{\lambda }_n=-b_1$ Проблема метода: замена переменных Есть результат, который позволяет модифицировать способ решения, минуя способ замены

ПО шагам:

1. Замена $x=T^{-1}y$
2. Управление $y=Kx\to u=K{T}^{-1}y=Ly$
3. Так как $A=\dots$, $B=\dots$,
4. Пуст $L_k=-a_k+b_k⟹A_{замкн}$
5. Так как $b_k$ связаны с собственными числами ${\lambda }_k(A_{замкн})$ известными соотноениями, то возможно сначала задать ${\lambda }_k(A_{замкн})$ , а затем рассчитать $b_k$
6. Обратная замена

Позволяет не только построить регулятор, но и задать собственные числа. Минус: найти систему, которая приводит систему к каноническому виду

---

Формула Аккермана

Теорема (Гамильтона-Кэли) $A_{cl}^n-b_1{A}_{cl}^{n-1}-\cdots -b_n{I}_n=0$ $X_{cl}(A_{cl})=0$ $X_{cl}(A)\ne 0$

Матрица, которая не зависит от k - отдельное слагаемое. Тогда все остальные слагаемые можно сгруппировать в линейную форму по пременным $A$ и $A_{cl}$

Ранг определяет возможность стабилизации системы

“Алгоритм прекрасен, учить обязательно”

---

Дано: ${\theta }_{1\ast }(t)=\epsilon \sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t\right)$

1. Найти программное управление, которое реализует траекторию ${\theta }_{2\ast }(t),u_{\ast }(t)$
2. $A(t)$, $B(t)$ (не должны зависеть от t).
3. Проверить управляемость пары матриц $A,B$ (ответить на вопрос: ранг матрицы управляемости $M_c$ равен $n$ или нет?)
4. Назначить желаемые корни замкнутой системы ${\lambda }_{1,2,3,4}$ и найти управление, которое их реализует (классическим способом, через замену $T:(Lin)\to Lin(Canon)$)
5. Проверить формулу Аккермана (воспользоваться готовой формулой и посчитать каждый из блоков: матрица управляемости, характеристический многочлен замкнутой системы. Проверить, что всё то же самое, что и в пункте 4)
6. Мат моделирование: движение в фазовых плоскостях

1-3: аналитическая работа, на листе бумаги