Замкнутое множество в метрическом пространстве

math-definition Источник: Колмогоров, Фомин (стр. 67)

---

Замкнутое множество в метрическом пространстве

Множество $M$, лежащее в метрическом пространстве $R$, называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием: $[M]=M$.

:LiAlertCircle: Может показаться, что любое множество совпадает со своим замыканием, но это не так. Замыкание $[M]$ состоит, вообще говоря, из точек трех типов:

1. изолированные точки множества $M$
2. предельные точки множества $M$, принадлежащие $M$
3. предельные точки множества $M$, не принадлежащие $M$ (!). Таким образом, замыкание $[M]$ получается присоединением к $M$ всех его предельных точек