Определение интеграла Лебега

Интеграл Лебега определяется пошагово.

Пусть ($X,\mathfrak{U},\mu$) - пространство с мерой, на нём определена измеримая функция $f:(X,\mathfrak{U})\to (\mathbb{R},\mathfrak{B}(\mathbb{R}))$, $\mathfrak{B}(\mathbb{R})$ - борелевская $\sigma$-алгебра на вещественной оси.

Первый шаг. Пусть $(X,\mathfrak{U},\mu )$ - пространство с мерой, $X\in \mathfrak{U}$ - измеримое (в смысле “принадлежащее выбранной $\sigma$-алгебре”) множество. Индикаторная функция множества $A$ - это функция ${\chi }_A:X\to \{0,1\}$: ${\chi }_A(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in X,\\ 0,& x\notin X.\end{array}$

Пусть $\mu$ - полная конечная мера на $\sigma$-алгебре $\mathcal{U}$ в $E$, все рассматриваемые множества из $\mathcal{U}$, все функции измеримы,

Простая функция $f={\sum }_k\lambda {\chi }_{X_k}$ называется интегрируемой по Лебегу, е