По мотивам 3 лекции

Теорема о вложенных шарах

Метрическое пространство полно тогда и только тогда, когда каждая последовательность вложенных шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет общую точку

Доказательство

Необходимость $R$ полно и пусть $B_1,B_2,B_3,\dots$ - последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров. Пусть $r_n$ - радиус, а $x_n$ - центр шара $B_n$.

Пусть пространство

Последовательность центров $\{x_n\}$ фундаментальна, поскольку $\rho (x_n,x_m)<r_n$ и $r_n\to 0$ при $n\to \infty$.

Положим $x={\lim }_{n\to \infty }{x}_n$, тогда $x\in {\bigcap }_n{B}_n$. $x$ - точка прикосновения для каждого шара $B_n$. Но так как $B_n$ - замкнутое множество, то $x\in B_n$ для всех $n$ (замкнутое множество содержит все свои точки прикосновения).

Достаточность

Теорема Бэра

Полное метрическое пространство $R$ не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств

Доказательство $R={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{M}_n$, где каждое из множеств $M_n$ нигде не плотно.

Предположим противное. Пусть

Пусть $S_0$ - некоторый замкнутый шар радиуса $1$. Поскольку множество $M_1$ не плотно нигде, то оно не плотно и в $S_0$. Тогда существует замкнутый шар $S_1$ радиуса меньше $\frac{1}{2}$, такой, что $S_1\subset S_0$ и $S_1\cap M_1=\varnothing$.

Поскольку множество $M_2$ не плотно в $S_1$, по той же причине в шаре $S_1$ содержится замкнутый шар $S_2$ радиуса меньше $\frac{1}{3}$, для которого $S_2\cap M_2=\varnothing$.

Мы получаем последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров $\{S_n\}$, радиусы которых стремятся к нулю, причем $S_n\cap M_n=\varnothing$. Мы получаем последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров $\{S_n\}$, радиусы которых стремятся к нулю, причем $S_n\cap M_n=\varnothing$.

В силу теоремы о вложенных шарах пересечение ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{S}_n$ содержит некоторую точку $x$. Эта точка по построению не принадлежит ни одному из множеств $M_n$, следовательно, $x\notin {\bigcup }_n{M}_n$, то есть $R\notin {\bigcup }_n{M}_n$, в противоречии с предположением.

Теорема о неподвижной точке

Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве $R$, имеет одну и только одну неподвижную точку

Доказательство