Вполне приводимые представления

Теорема 1

Подпредставление вполне приводимого представления вполне приводимо

Доказательство $R:G\to GL(V)$ - наше представление. Пусть $V^{\prime }\subseteq V$ - инвариантное подпространство. Рассмотрим подпредставление $R{|}_{V^{\prime }}:G\to GL(V^{\prime })$.

Пусть

Нужно доказать полную приводимость этого представления.

Рассмотрим $U\subseteq V^{\prime }$ - инвариантное подпространство для этого представления. Существует $W\subseteq V$ такое, что $V=U\oplus W$. Рассмотрим $W^{\prime }=W\cap V^{\prime }$. Теперь покажем, что $V^{\prime }=U\oplus W^{\prime }$, тем самым доказав, что $V^{\prime }$ вполне приводимо.

Для этого нужно доказать, что любой вектор из $V^{\prime }$ единственным способом разлагается в сумму векторов из $U$ и $W^{\prime }$. В самом деле, так как $V=U\oplus W$, то $\forall v\in V^{\prime }$ существует единственное разложение $v=u+w,u\in U,w\in W$

Так как $v\in V^{\prime }$ и $u\in U\subseteq V^{\prime }$, то и $v-u=w\in V^{\prime }$. Тогда $v-u=w\in V^{\prime }\cap W=W^{\prime }$ - это и означает, что $V^{\prime }=U\oplus W^{\prime }$.

Прямая сумма инвариантных подпространств

Говорят, что представление $R:G\to GL(V)$ разлагается в прямую сумму линейных представлений: $R=R_1\oplus \cdots \oplus R_s$ если $V$ разлагается в прямую сумму инвариантных подпространств: $V=V_1\oplus \cdots \oplus V_s$ и при этом $R{|}_{V_i}=R_i(i=1,\dots ,s)$

Теорема Машке

Всякое (конечномерное) линейное представление над полем нулевой характеристики вполне приводимо

$◊$ $G$ - конечная группа $◊$ $R:G\to GL(V)$ - конечномерное линейное представление в векторном пространстве $V$ над полем $K$, $charK=0$.

Докажем, что $R$ вполне приводимо.