Пусть к северному полюсу . Это означает, что при . Было установлено, что , где - координата точки . Поэтому , отсюда . Поэтому при будет . Таким образом, если точка , то . Поэтому считается, что северный полюс сферы Римана служит изображением бесконечно удалённой точки.
Параграф 2. Функции комплексного переменного
Пусть , и пусть каждому числу поставлено в соответствие одно или несколько (или даже бесконечно много) - но не более, чем счетное множество комплексных чисел. В этом случае говорят, что на задана однозначная или многозначная (бесконечнозначная) функция.
Например, функции , для которых есть , , , , являются однозначными. Они определены на всей комплексной плоскости, но так бывает не всегда. Функции , являются многозначными (первая бесконечнозначная при , вторая - -значная при ).
Пусть дана (однозначная) , где , . Ясно, что задание функции равносильно заданию двух вещественнозначных функций и , каждая из которых зависит от двух вещественных переменных.
Например, если , где , то , то есть - задание такой функции равносильно заданию двух функций , , каждая из которых принимает вещественные значения и зависит от двух вещественных переменных.
Пусть , и пусть - предельная точка этого множества, и пусть . Говорят, что число является пределом функции по множеству при , если для любого существует число такое, что выполняется неравенство , при этом пишут , или при .
Если функция определена в (проколотой) окрестности точки , то предела не зависит от множества .
??????????????
Можно ещё рассмотреть случай (а также и случай )
Пусть , , и пусть точка . Говорят, что функция непрерывна в точке , если такое, что если , , то (это - определение непрерывности в точке по множеству ).
Замечание. В соответствии с этим определением всякая функция непрерывна в изолированной точке её области определения. Как правило, мы будем рассматривать понятие непрерывности лишь в предельных точках области определения функции. Для таких точек непрерывность равносильна равенству .
В основном сохраняются известные из курса вещественного анализа свойства непрерывных функций.
Рассмотрим дифференцирование функций комплексного переменного.
Пусть , и пусть . Производной функции в точке по множеству называется предел (при условии, что он существует): Чтобы показать, что имеется в виду производная именно по множеству , пишут также или .
Обозначим , через , тогда , и если , то определение производной можно также записать в виде Пусть функция определена в окрестности точки . Говорят, что эта функция дифференцируема в точке , если её приращение может быть представлено в виде . И это приращение может быть представлено в виде , где при , а число н езависит от .