Показать, что нулевое решение глобально асимптотически устойчиво
\dot{x} = -e^xy^3-e^xy-5x \\ \dot{y} = e^x \mathrm{th}(x) \end{cases}$$ ___ Можно пользоваться теоремами Ла-Салля или Барбашина-Красовского. Для начала нужно напрячься и найти функцию Ляпунова $V(x, y)$. Для того, чтобы она удовлетворяла условиям [[Теорема Ла-Салля|теорем Ла-Салля]] и [[Третья теорема Барбашина-Красовского|Барбашина-Красовского]], нам нужно для начала, чтобы она удовлетворяла следующим требованиям: 1) $V(\overline{0}) = 0$ 2) $V(x, y) > 0 \ \ \ \forall x \neq 0$ 3) $\dot{V}(x) \leq 0 \ \ \ \ \ \forall x \neq 0$ Методом изощренной фантазии подбираем такую функцию: $$V(x, y) = \ln (\cosh x) + \frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{4} y^4$$ Можно убедиться, что она отлично удовлетворяет нашим требованиям. А ещё она радиально ограничена (когда я писал, мне было лень это показывать, вроде логично) Производная этой функции в силу системы: $$\dot{V}(x, y) = -5x \tanh x$$ Составим множество $S = \{ x \in \mathbb{R}^n: \dot{V}(x, y)=0 \}$. Оно представляет собой прямую $x=0$. При $x=0$ система выглядит так: $$\begin{cases} \dot{x} = -y^3-y \\ \dot{y} = 0 \end{cases}$$ Если $y \neq 0$, то $\dot{x} \neq 0$ $\implies$ $x \neq \mathrm{const}$ $\implies$ $(x, y)$ покидает $S$. То есть $S = \{ (0, 0) \}$ Выполняется условие [[Третья теорема Барбашина-Красовского|третьей теоремы Барбашина-Красовского]] $\implies$ $(0, 0)$ - асимптотически устойчивое положение равновесия.