Третья теорема Барбашина-Красовского

math-theorem

---

На лекции Кустов упомянул, что данная теорема является устаревшей. Звучит смешно - как теорема может быть устаревшей? Она либо верна, или нет. Что он предлагал использовать вместо этого, я не знаю или не помню. Вероятно, теорему Ла-Салля. Третья (эта) теорема - следствие Ла-Салля. Но в рамках решения второй задачи ДЗ она требует более глубокомысленных выводов, поэтому бессовестно использовал именно Барбашина. Ну а что? Верна же.

(Третья) теорема Барбашина-Красовского

Пусть $x=0$ - точка равновесия системы $\dot{x}=f(x)$. Пусть $V:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ - непрерывно дифференцируемая функция, такая что

$V(0)=0иV(x)>0,\forall x\ne 0$ $\Vert x\Vert \to \infty ⟹V(x)\to \infty$ (радиальная неограниченность) $\dot{V}(x)\le 0,\forall x\ne 0$

Множество $S=\{x\in {\mathbb{R}}^n:\dot{V}(x)=0\}$ не содержит целых траекторий, кроме $\overline{x}=0$.

Тогда $\overline{x}=0$ - глобально асимптотически устойчивая точка равновесия