Вопрос 12

Теорема Гаусса для напряженности электромагнитного поля E. Применение теоремы Гаусса для нахождения электрического поля

---

physics

---

Теорема Гаусса

Поток вектора $\overline{E}$ сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на ${\epsilon }_0$ $\Phi =\text{unicode}x222F\overline{E}d\overline{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}{q}_{внутр},$ где ${\epsilon }_0$ - диэлектрическая проницаемость вакуума

Доказательство

Некоторые уточнения. Ниже - выдержка из Сивухина, использующего гауссову СС. Чтобы прийти в соответствие с Применко, Иродовым и привычной системой СИ, нужно всё домножать на $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$. В частности, выражение для поверхностного интеграла сократится с $4\pi q$ к $\frac{q}{{\epsilon }_0}$.

Модуль $\overline{E}$ определяется несложно, но напомню, на всякий сслучай. В выражении здесь $\overline{r}$ - не единичный. А вот $\frac{\overline{r}}{r}$ - единичный. Тогда $\overline{E}=\frac{q\overline{r}}{r^3}=\frac{q\ast \frac{\overline{r}}{r}}{r^3}\ast r=\frac{q\overline{e}}{r^2}$. То есть модуль $\frac{q}{r^2}$. Но, опять же, это в гауссовой системе. А в СИ: $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}$.

Более подробно про поток вектора и вообще теорию поверхностных интегралов в будущем можно будет прочитать тут: Поверхностные интегралы. Может быть, уже можно, хз.