Неравенство Клаузиуса

Пусть у нас есть произвольное число резервуаров $R_{1}, R_{2}, \dots, R_{n}$ . Резервуары должны быть достаточно велики, чтобы в ходе теплообмена их температуры оставались практически постоянными.

Пусть какая-то термодинамическая система $I$ в ходе произвольного кругового процесса заимствовала от $R_{1} . R_{2}, \dots, R_{n}$ теплоты $Q_{1}, Q_{2}, \dots, Q_{n}$ и произвела эквивалентную работу $Q_{1} + Q_{2} + \dots + Q_{n}$ .

После того, как этот круговой процесс закончился, теплоизолируем систему $I$ . Возьмем вспомогательный тепловой резервуар $R_{0}$ настолько большой, что в ходе теплообмена его температура $T_{0}$ практически не меняется. Кроме того возьмем $n$ идеальных машин Карно и включим их между вспомогательным резервуаром $R_{0}$ и резервуарами $R_{1}, \dots, R_{n}$ .

Пусть в результате своего цикла $i$ -я машина Карно забирает от резервуара $R_{0}$ тепло $Q_{0}$ , а от резервуара $R_{i}$ - тепло $Q_{i}^{'}$ . На определения абсолютной температуры $\frac{Q _{0 i}}{T _{0}} = \frac{Q _{i}^{'}}{T _{i}} = 0$ Выражая $Q_{0 i}$ и суммируя по $i$ , получаем общее количество тепла $Q_{0}$ , отданное вспомогательным резервуаром: $Q_{0} = \sum Q_{0 i} = - T_{0} \sum_{i = 1}^{n} \frac{Q _{i}^{'}}{T _{i}}$

Все $n$ циклов Карно можно объединить с круговым процессом, ранее совершенным системой $I$ , в один сложный круговой процесс. В результате такого процесса

резервуар $R_{0}$ отдал тепло $Q_{0}$ (машинам Карно)
резервуар $R_{1}$ отдал тепло $Q_{1} + Q_{1}^{'}$ (машинам Карно и системе $I$ ) …
Резервуар $R_{n}$ отдал тепло $Q_{n} + Q_{n}^{'}$ (машинам Карно и системе $I$ ) Совершена работа $A = Q_{0} + (Q_{1} + Q_{1}^{'}) + \dots + (Q_{n} + Q_{n}^{'})$

Дальнейшие рассуждения построим на постулате Кельвина. Выберем величины $Q_{1}^{'}, \dots, Q_{n}^{'}$ так, чтобы $(Q_{1} + Q_{1}^{'}) = \dots = (Q_{n} + Q_{n}^{'}) = 0$ . Это всегда возможно, так как тепловые резервуары $R_{1}, R_{2}, \dots, R_{n}$ предполагаются достаточно большими. В результате все тепловые резервуары вернутся в свои исходные состояния. Вспомогательный резервуар $R_{0}$ отдаст тепло $Q_{0} = T_{0} \sum_{i=1}^n \frac{Q_{i}}{T_{i}}\tag{1}$ Получился круговой процесс, совершенный системой $I$ и $n$ машинами Карно, в результате которого резервуар $R_{0}$ отдал тепло $Q_{0}$ и совершена эквивалентная работа $A = Q_{0}$ , больше никаких изменений не произошло.

Произведенная работа $A = Q_{0}$ не может быть положительной - получилось бы противоречие с постулатом Кельвина. Действительно, это значило бы, что резервуар $R_{0}$ произвел работу $A = Q_{0}$ и одновременно отдал тепло $Q_{0}$ - это противоречие с постулатом.

Таким образом, должно быть $Q_{0} \leq 0$ , и из (1) получаем неравенство Клаузиуса: $\sum_{i = 1}^{n} \frac{Q _{i}}{T _{i}} \leq 0$

Это доказательство предполагало, что тепловые резервуары большие, что позволило считать температуры $T_{i}$ резервуаров постоянными. Но для резервуаров конечного размера вывод не меняется. Нужно только раздробить наш термодинамический процесс на сколь угодно малые термодинамические процессы, относительно которых температуру $T_{i}$ резервуара $R_{i}$ также можно считать постоянной.

Один резервуар $R_{i}$ с переменной температурой как бы эквивалентен $N$ последовательно включаемым резервуарам с постоянными, но разными температурами; в течение короткого времени первый резервуар отдает системе $I$ тепло $Q_{i_{1}}$ , а в остальное время кругового процесса он теплоизолирован. В течение следующего короткого времени второй резервуар отдает тепло $δ Q_{i_{2}}$ , оставаясь теплоизолированным в остальное время, и так далее. Ясно поэтому, что в общем случае неравенство запишется в виде:

$\oint \frac{δ Q}{T} \leq 0$

Quartz 4

Explorer

Неравенство Клаузиуса

Graph View

Backlinks