Теория представлений

Задачи: Теория представлений (задачи)

---

Линейное представление (определение)

Пусть $G$ - группа, $V$ - конечномерное линейное пространство, $GL(V)$ - группа обратимых операторов в $V$.

Представлением $G$ в $V$ называется гомоморфизм $R:G\to GL(V)$.

Оператор, отвечающий элементу $g\in G$, называется его оператором представления и обозначается $T(g)$ или $T_g$.

Эквивалентность линейных представлений

Два линейных представления $R:G\to GL(V)$ и $R:G\to GL(W)$ называются эквивалентными, если существует изоморфизм линейных пространств $\phi :V\stackrel{\sim }{\to }W$ такой, что следующая диаграмма коммутативна для любых $g\in G$: (то есть выполнено $\Psi (g)\phi =\phi \Phi (g),g\in G$, или $\Psi (g)=\phi \Phi {\phi }^{-1}$)

[!Пример 1]- У любой группы $G$ есть тривиальное представление в любом пространстве $\phi :G\to GL(V)$, $g\to E\forall g\in G$. Действительно, единичный (тождественный) оператор обратим.

[!Матричная терминология]- Матричное представление группы $G$ над полем $K$ - это гомоморфизм из группы $G$ в группу невырожденных матриц: $P:G\to G{L}_n(K)$ Его размерность: $\dim R=n$.

Между матричными и линейными представлениями существует естественная связь, а именно - выбор базиса $(e_1,\dots ,e_n)$ в пространстве $V$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между линейными операторами и матрицами размера $n\times n$. В частности, невырожденным линейным операторам соотвествуют невырожденные матрицы, то есть выбор базиса в пространстве $V$ задает изоморфизм между группой невырожденных матриц размера $n\times n$ над полем $K$: $GL(V)\cong G{L}_n(K)$ Таким образом, возникает взаимно-однозначное соответствие между линейными и матричными представлениями соответствующей размерности.

Если ${\Phi }_g,{\Psi }_g$ - матрицы соответствующих линейных операторов $\Phi (g),\Psi (g)$, то условие эквивалентности выражается в виде ${\Psi }_g=C{\Phi }_g{C}^{-1}$ где $C$ - некоторая невырожденная матрица, одна и та же для всех $g\in G$.

[!Инвариантное подпространство]- К какому наиболее простому виду можно привести матричную запись линейного представления путём удачного выбора базиса? Для ответа на этот вопрос также, как в линейной алгебре, введём понятие инвариантного подпространства

Инвариантное подпространство представления $R:G\to GL(V)$ - это такое подпространство $U\subseteq V$, что $R(g)U=U\forall g\in G$

Можно рассмотреть $R(g){|}_U$ - ограничение оператора $R(g)$ на $U$. Это, легко видеть, сюръективное отображение. Так как оператор $R(g)$ - невырожденный, то он будет также и инъективным отображением (см. теорему) на $V$, а тем более и на $U$.

[!Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления]- Более подробно см. Вполне приводимые представления