19. Закон сохранения механической энергии

Пусть все силы (как внешние, так и внутренние), действующие на механическую системы, потенциальны, то есть существует функция $U(x_1,y_1,z_1,\dots ,x_N,y_N,z_N)$, такая, что $F_{kx}=\frac{\partial U}{\partial x_k}$ $F_{ky}=\frac{\partial U}{\partial y_k}$ $F_{kz}=\frac{\partial U}{\partial z_k}$ где $F_{kx}\overline{i}+F_{ky}\overline{j}+F_{kz}\overline{k}={\overline{F}}_k$ - равнодействующая всех сил, приложенных к $k$-й точке.

Теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме представим в виде $dT={\sum }_{k=1}^N\overline{F_k}\cdot d{\overline{r}}_k,$ где $\overline{F_k}\cdot d\overline{r_k}=({\overline{F_k}}^{(e)}+{\overline{F}}_k^{(i)})d{\overline{r}}_k$

Тогда

= \sum_{k=1}^{N} \left( F_{kx} \, dx_k + F_{ky} \, dy_k + F_{kz} \, dz_k \right) = $$ $$= \sum_{k=1}^{N} \left( \frac{\partial U}{\partial x_k} \, dx_k + \frac{\partial U}{\partial y_k} \, dy_k + \frac{\partial U}{\partial z_k} \, dz_k \right) = dU,

и теперь $dT=dU$ или $dT+d\Pi =0$ где $\Pi =-U(x_1,y_1,z_1,\dots ,x_N,y_N,z_N)+const$ - потенциальная энергия системы. Следовательно, $d(T+\Pi )=0$ откуда $T+\Pi =const$ Сумма кинетической и потенциальной энергии называется полной энергией $E$ механической системы.

Системы, для которых выполняется закон сохранения механической энергии, называются консервативными.

Если все силы, действующие на систему, потенциальны, то при движении системы ее полная механическая система постоянна.