По мотивам 5 лекции "Линейные системы"

---

Содержание

Рассматриваем линейную неавтономную систему $\dot{x(t)}=A(t)x(t)$ Утверждается ( why ), что решение этой системы имеет такой вид: $x(t)=\Phi (t,t_0)x(t_0)$ Эта функция представима в виде: \Phi(t, t_{0}) = I_{n} + \int_{t_{0}}^{t_{1}}A(\tau)\Phi(\tau, t_{0}) d \tau$$$$\Phi(t, t_{0}) = I_{n} + \int_{\tau_{0}}^\tau A(\tau_{1})d \tau_{1} + \int_{t_{0}}^{t} A(\tau_{1}) \int_{t_{0}}^{\tau_{1}} A(\tau_{2}) \Phi(\tau_{2}, t_{0}) d \tau_{2} d \tau_{1}=\dots Этот ряд называется рядом Пеано-Бейкера ((ряд Пеано-Бейкера)).

Если $A(t)=A$, то получается выражение обычной матричной экспоненты.

По виду решения линейной динамической системы $x(t)=\Phi (t,t_0)x(t_0)$ становится ясным, что за свойство устойчивости отвечает именно переходная матрица $\Phi (t,t_0)$. Так как для линейных автономных систем она устроена как $\Phi (t,t_0)=\exp (A(t-t_0)),$ то анализ устойчивости системы связан с анализом матрицы $A$ системы.

Вводятся понятия равномерной устойчивости, равномерной асимптотической устойчивости и экспоненциальной устойчивости.

Вводится квадратичная функция Ляпунова.

Далее приводится перечень теорем, аналогов которых я не смог отыскать в литературе и поэтому для них не созданы отдельные заметки. Кустов уникален(((

(см. адекватную теорему Ла-Салля)

Теорема (аналог теоремы Ла-Салля для линейных систем)

Пусть $G$ - некоторый компакт из пространства состояний линейной динамической системы. Если для всех $x\in G$ существует квадратичная функция Ляпунова $V(t,x)\in {\mathcal{L}}^2(G)$, а $A(t)$ является ограниченной $\forall t\ge t_0$, тогда любое решение $x(t)$, целиком лежащее в $G$, притягивается к $E$, то есть $\exists y\in E:{\lim }_{t\to +\infty }x(t)\to y,$ $E=\{x\in G:W(x)=0\}$

Следующие две теоремы дают условие того, что динамическая система НЕ является экспоненциально устойчивой

Теорема

Если для линейной динамической системы $\dot{x}=A(t)x(t)$ существует квадратичная функция Ляпунова $V(t,x)$ на всём ${\mathbb{R}}^n$ (то есть $V(t,x)\in {\mathcal{L}}^2({\mathbb{R}}^n)$), такая, что $\exists t,x:V(t,x)<0,$ то эта система не является экспоненциально устойчивой

Теорема

Если для линейной динамической системы $\dot{x}=A(t)x(t)$ существует квадратичная функция Ляпунова $V(t,x)\in {\mathcal{L}}^2(\cdot )$, такая, что $\exists t,x,\exists W\prec 0:V(t,x)<0\wedge \dot{V}(t,x)\le x^{T}Wx<0,$ то эта система не является равномерно устойчивой

Следующие две теоремы, напротив, дают условие того, что динамическая система является экспоненциально устойчивой

Теорема

Если для линейной динамической системы $\dot{x}=A(t)x(t)$ существует квадратичная функция Ляпунова $V(t,x)\in {\mathcal{L}}^2({\mathbb{R}}^n)$, такая, что $\exists \epsilon >0:V(t,x)\ge \epsilon \Vert x{\Vert }^2\forall t,x,$ то эта система является равномерно устойчивой

Теорема

Если для линейной динамической системы $\dot{x}=A(t)x(t)$ существует квадратичная функция Ляпунова $V(t,x)\in {\mathcal{L}}^2({\mathbb{R}}^n)$, такая, что $\exists \epsilon ,\mu >0:V(t,x)\ge \epsilon \Vert x{\Vert }^2\wedge \dot{V}(t,x)\le -\mu \Vert x{\Vert }^2\forall t,x,$ то эта система является экспоненциально устойчивой

Далее формулируется критерий экспоненциальной устойчивости

Критерий экспоненциальной устойчивости

Для линейной динамической системы $\dot{x}=A(t)x(t)(\ast )$, если $A(t)$ ограничена по норме (то есть $\forall t\ge t_0$ верно $\Vert A(t)\Vert <+\infty$), следующие условия эквивалентны:

1. $(\ast )$ является (равномерно) экспоненциально устойчивой
2. $(\ast )$ является (равномерно) асимптотически устойчивой
3. $\exists \beta >0:{\int }_{t_1}^{t_2}\Vert \Phi (t,\tau )\Vert d\tau \le \beta \forall t_2\ge t_1\ge t_0\ge 0$.

Прямой метод Ляпунова

Для линейной динамической системы $\dot{x}(t)=A(t)x(t)$ рассмотрим кандидата на роль функции Ляпунова: $V(t,x)=x^{T}P(t)x,$ где $P(t)$ - матрица, подлежащая определению. Имеем $\dot{V}(t,x)={\dot{x}}^{T}P(t)x+x^T\dot{P}(t)x+x^{T}P\dot{x}=$ $=x^T(\dot{P}(t)+P(t)A(t)+A^T(t)P(t))x$

Соответственно, весь анализ устойчивости/неустойчивости связан с анализом матрицы $P(t)$ и матрицы $Q(t)=\dot{P}(t)+P(t)A(t)+A^T(t)P(t)$

Асимптотическая устойчивость нулевого положения равновесия динамической системы эквивалентна выполнению двух условий: $P(t)\succ 0,Q(t)\prec 0$

Случай $A(t)=A$: пусть $\dot{P}(t)=0$, тогда $P\succ 0,PA+A^{T}P\prec 0$

Теорема

Пусть задана $Q\prec 0$. Тогда, если $\exists P\succ 0:PA+A^{T}P=Q,$ то $x^{T}Px\in {\mathcal{L}}^2({\mathbb{R}}^n)$

---

Теорема

Положение равновесия $x_{\ast }=0$ системы $\dot{x}=Ax$ асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда $A$ - гурвицева

Теорема

Матрица $A$ является гурвицевой тогда и только тогда, когда $\forall Q\prec 0\exists !P\succ 0:PA+A^{T}P=Q$

Theorem condition

Для линейной системы $\dot{x}=Ax$ положение равновесия $x_{\ast }$ устойчиво тогда и только тогда, когда $\mathrm{Re}({\lambda }_k(A))\le 0\forall k=1,\dots ,n$, причем для тех $k$, при которых $\mathrm{Re}({\lambda }_k(A))=0$ (обозначим такие $k$ через $x$) должно выполняться $\mathrm{rank}({\lambda }_x{I}_n-A)=n-r_x,$ где $r_x$ - кратность соответствующего собственного числа