По мотивам 1 лекции

Неравенство Юнга

Пусть $a,b$ $\ge$ 0, а $p,q>1$ такие, что $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Тогда выполняется $ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$

Доказательство $f(x)$ = $\ln (x)$ и $a,b>0$. Функция $\ln (x)$ выпукла вверх. Стало быть, для$x_1,x_2>0$ и $t\in [0,1]$ выполнено неравенство Йенсена: $\ln (tx+(1-t)y)\ge t\ln (x)+(1-t)\ln (y)$. Положим $x=a^p$, $y=b^q$, $t=\frac{1}{p}$, $1-\frac{1}{p}=\frac{1}{q}$. Имеем: $\ln \left(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\right)\ge \frac{1}{p}\ln (a^p)+\frac{1}{q}\ln (b^q)$ $\ln \left(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\right)\ge \frac{p}{p}\ln (a)+\frac{q}{q}\ln (b)$ $\ln \left(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\right)\ge \ln (a)+\ln (b)$ $\ln \left(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\right)\ge \ln (ab)$ Экспонируя, получаем неравенство Юнга

Зададим

Неравенство Гёльдера

Пусть $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n>0$, $p>1$,
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Тогда

\sum_{k=1}^n a_k b_k ;\le; \left( \sum_{k=1}^n a_k^p \right)^{\tfrac{1}{p}} \left( \sum_{k=1}^n b_k^q \right)^{\tfrac{1}{q}}$$

Доказательство $A={\left({\sum }_{k=1}^n{a}_k^p\right)}^{\frac{1}{p}},B={\left({\sum }_{k=1}^n{b}_k^q\right)}^{\frac{1}{q}}$
По неравенству Юнга $\forall k:\left(\frac{a_k}{A}\right)\cdot \left(\frac{b_k}{B}\right)\le \frac{1}{p}{\left(\frac{a_k}{A}\right)}^p+\frac{1}{q}{\left(\frac{b_k}{B}\right)}^q$
Сложим по $k=1,n$:
${\sum }_{k=1}^n\frac{a_k}{A}\cdot \frac{b_k}{B}\le \frac{1}{p}{\sum }_{k=1}^n{\left(\frac{a_k}{A}\right)}^p+\frac{1}{q}{\sum }_{k=1}^n{\left(\frac{b_k}{B}\right)}^q$
$=\frac{1}{p}\cdot \frac{1}{A^p}{\sum }_{k=1}^n{a}_k^p+\frac{1}{q}\cdot \frac{1}{B^q}{\sum }_{k=1}^n{b}_k^q=\frac{1}{p}\cdot \frac{1}{A^p}\cdot A^p+\frac{1}{q}\cdot \frac{1}{B^q}\cdot B^q=1$
Получили, что ${\sum }_{k=1}^n\frac{a_k}{A}\cdot \frac{b_k}{B}\le 1\Rightarrow {\sum }_{k=1}^n{a}_k{b}_k\le AB$

Обозначим

Неравенство Минковского

Пусть $(X,\mathcal{A},\mu )$ — пространство с мерой $p$, $1\le p<\infty$, и пусть $f,g\in L_p(\mu )$. Тогда выполнено:
$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p,$ где
$\Vert h{\Vert }_p={\left({\int }_X|h{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}.$

Доказательство $f$ и $g$ имеют конечную $p$-норму, то $|f+g|$ тоже имеют конечную $p$-норму.

Для начала покажем, что если

Это следует из неравенства $|f(x)+g(x){|}^p\le 2^{p-1}(|f(x){|}^p+|g(x){|}^p).$ Покажем, что это неравенство верно. Функция $f:t\mapsto t^p$ - выпуклая (так как её производная неотрицательна) ⇒ для неё выполнено неравенство Йенсена: $f\left(\frac{1}{2}(a+b)\right)\le \frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)$ ${\left[\frac{1}{2}(a+b)\right]}^p\le \frac{1}{2}{a}^p+\frac{1}{2}{b}^p$ Умножая обе части на $2^p$, получаем $(a+b{)}^p\le 2^{p-1}(a^p+b^b).$

Из этого неравенства, действительно, следует существование $p$-нормы у $|f+g|$, так как при интегрировании правая часть как сумма сходящихся интегралов сама будет являться сходящимся интегралом и лежать в $L_p$.

Перейдем к доказательству неравенства Минковского: ${\int }_E|f+g{|}^{p}d\mu ={\int }_E|f+g||f+g{|}^{p-1}d\mu \le {\int }_E|f||f+g{|}^{p-1}+{\int }_E|g||f+g{|}^{p-1}d\mu$