Выпуклость функции

1. Отображение $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(a,b)=\lambda a+(1-\lambda )b$ даёт точку $c=f(a,b)$ такую, что $a\le c\le b$ в зависимости от значения $\lambda \in [0,1]$.
2. Теперь можно ввести определение выпуклой (вверх) функции:

Выпуклая (вверх) функция

Функция $f[a,b]\to \mathbb{R}$, определенная на интервале $[a,b]\subset \mathbb{R}$, называется выпуклой на нем, если для любых точек $x_1$, $x_2$ $\in [a,b]$ и любом $\lambda \in [0,1]$ выполнено неравенство: $f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\ge \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$

Это определение можно обобщить для произвольного ${\mathbb{R}}^n$

Выпуклая (вверх) функция

Пусть $f:D\to \mathbb{R}$, где $D\subseteq {\mathbb{R}}^n$ — выпуклое множество. Функция $f$ называется выпуклой (выпуклой вверх), если для любых точек $x_1,\dots ,x_m\in D$ и любых весов ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m\ge 0$ таких, что ${\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i=1$, выполняется
$f\left({\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i{x}_i\right)\le {\sum }_{i=1}^m{\lambda }_{i}f(x_i)$