5 лекция

• Аксиомы отделимости
• Метрическое пространство является нормальным

Метрическое пространство является нормальным

Метризуемое топологическое пространство

Топологическое пространство $T$ называется метризуемым, если его топологию можно задать с помощью какой-либо метрики

Теорема (Урысон)

Для того чтобы топологическое пространство со счетной базой было метризуемо, необходимо и достаточно, чтобы оно было нормально

---

Компактное топологическое пространство

Топологическое пространство $T$ называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие

Компакт

Компакт - это компактное топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости Хаусдорфа

Компактное топологическое пространство != компакт. Оно является компактом, если удовлетворяет аксиоме Хаусдорфа.

Теорема 2

Если $T$ - компактное пространство, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку

Доказательство $T$ содержит бесконечное множество $X$, не имеющее ни одной предельной точки, то в нем можно взять счетное множество $X_1=(x_1,x_2,\dots )$, также не имеющее ни одной предельной точки. Но тогда множества $X_n=(x_n,x_{n+1},\dots )$ образуют центрированную систему замкнутых множеств в $T$, имеющую пустое пересечение, то есть $T$ не компактно.

Если

Теорема 3

Замкнутое подмножество компактного пространства компактно

Доказательство $F$ - замкнутое подмножество компактного пространства $T$ и $\{F_{\alpha }\}$ - произвольная центрированная система замкнутых подмножеств подпостранства $F\subset T$. Тогда каждое $F_{\alpha }$ замкнуто и в $T$, то есть $\{F_{\alpha }\}$ - центрированная система замкнутых множеств в $T$. Следовательно, $\bigcap F_{\alpha }\ne \varnothing$. В силу теоремы 1 отсюда следует компактность $F$

Пусть

Привести пример компактного незамкнутого множества (точка)

Теорема 4

Компакт замкнут в любом содержащем его хаусдорфовом пространстве

Доказательство $◊$ $K$ - компактное множество (компакт) в хаусдорфовом пространстве $T$ $◊$ $y\notin k$ $\to$ Для любой точки $x\in K$ существует окрестность $U_x$ точки $x$ и окрестность $V_x$ точки $y$ такие, что $U_x\cap V_x=\varnothing$ Окрестности $U_x$ образуют открытое покрытие множества $K$. В силу компактности $K$ из него можно выделить конечное подпокрытие $U_{x_1},\dots ,U_{x_n}$. Положим $V=V_{x_1}\cap \cdots \cap V_{x_n}$ Тогда $V$ - окрестность точки $y$, не пересекающаяся с $U_{x_1}\cup \cdots \cup U_{x_n}\supset K$. Следовательно, $y\notin [K]$ и, значит, $K$ замкнуто. Теорема доказана.

Теорема 5

Всякий компакт представляет собой нормальное пространство

Доказательство $X$ и $Y$ - два непересекающихся замкнутых подмножества компакта $K$.

Пусть

Повторив рассуждения, проведенные в доказательстве предыдущей теоремы, легко убедиться в том, что для каждой точки $y\in Y$ существует такая ее окреcтность $U_y$ и такое открытое множество $O_y\supset X$, что $U_y\cap O_y=\varnothing$. Тем самым показано, что каждый компакт регулярен (здесь показано выполнение третьей аксиомы, выполнение первой аксиомы - в предыдущем доказательстве).

Пусть теперь $y$ пробегает множество $Y$. Выберем из покрытия $\{U_y\}$ множества $Y$ конечное подпокрытие $U_{y_1},\dots ,U_{y_n}$. Тогда открытые множества $O^{(1)}=O_{y_1}\cap \cdots \cap O_{y_n}$ и $O^{(2)}=U_{y_1}\cup \cdots \cup U_{y_n}$ будут удовлетворять условиям $O^{(1)}\supset X$ $O^{(2)}\supset Y$ $O^{(1)}\cap O^{(2)}=\varnothing$, а это и означает нормальность.

Теорема 6

Непрерывный образ компактного пространства есть компактное пространство

Доказательство $X$ - компактное пространство и $f$ - его непрерывное отображение в топологическое пространство $Y$, Рассмотрим какое-либо покрытие $\{V_{\alpha }\}$ образа $f(x)$ открытыми в $f(x)$ множествами. Положим $U_{\alpha }=f^{-1}(V_{\alpha })$. Множества $U_{\alpha }$ открыты (как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении) и образуют покрытие пространства $X$. Из этого покрытия можно выбрать, в силу компактности $X$, конечное подпокрытие $U_1,\dots ,U_n$. Тогда множества $V_1,\dots ,V_n$, где $V_i=f(U_i)$, покрывают весь образ $f(X)$ пространства $X$.

Пусть

Теорема 7

Взаимно однозначное и непрерывное отображение $\phi$ компакта $X$ на хаусдорфово пространство $V$ есть гомеоморфизм.

Доказательство ${\phi }^{-1}$. Пусть $F$ - замкнутое множество в $X$ и $P=\phi (F)$ - его образ в $Y$. В силу предыдущей теоремы $P$ - компакт и, следовательно, $P$ замкнуто в $Y$. Таким образом, прообраз при отображении ${\phi }^{-1}$ всяого замкнутого множества $F\subset X$ замкнут. А это и означает непрерывность отображения ${\phi }^{-1}$.

Нужно показать, что из условий теоремы вытекает непрерывность обратного отображения

Теорема 8

Пусть $T$ - компактное пространство и $f$ - непрерывная на нем числовая функция. Тогда $f$ ограничена на $T$ и достигает на $T$ верхней и нижней граней.

Доказательство Непрерывная функция есть непрерывное отображение $T$ в числовую прямую $\mathbb{R}$. Образ $T$ в $\mathbb{R}$ в силу теоремы 6 компактен. Но компактное подмножество числовой прямой замкнуто и ограничено и потому не только имеет конечные верхнюю ограни, но и содержит эти грани. Теорема доказана.

Счетно-компактное пространство

Пространство $T$ называется счетно-компактным, если его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку

Полная ограниченность ⇒ сепарабельность ⇒ вторая аксиома счетности

счетная компактность ⇒ jплная ограниченность вторая аксиома счетности ⇒ компактность Счетная компактность ⇐> компактность

Метрическое пространство компакт, тогда и только когда оно одновременно полное и вполне ограниченное