На множестве рациональных чисел функциональное уравнение Коши имеет единственное решение

Утверждение

Если функция $f$ определена на $\mathbb{Q}$, то уравнение $f(x+y)=f(x)+f(y)$ имеет единственное решение, причем $f(x)=cx$ (линейная функция)

$f(x+y)=f(x)+f(y)$, то $f(x+x+\cdots +x)=f(nx)=nf(x)$.

Во-первых, если

Далее, пусть $x=\frac{p}{q}$. Тогда $f(p)=pf(1)$. С другой стороны, $f(p)=f(qx)=qf(x)=qf\left(\frac{p}{q}\right)$. Тогда $pf(1)=qf\left(\frac{p}{q}\right)$ $⟹$ $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{p}{q}f(1)$ $⟹$ $f(x)=xf(1)$ $⟹$ $f(x)=cx$