15. Кинетическая энергия точки и системы. Теорема Кенига

Кинетическая энергия точки и системы

Кинетическую энергию материальной точки массой $m$, движущейся с абсолютной скоростью $\overline{v}$, определяют по формуле $T=\frac{m{v}^2}{2}$ Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех точек этой системы: $T={\sum }_{k=1}^N\frac{m_k{v}_k^2}{2}$ Единица измерения: джоуль (1 Дж = 1 Н $\cdot$ м)

Теорема Кенига

Кинетическая энергия механической системы в ее абсолютном движении равна сумме кинетиеческой энергии центра масс (в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы) и кинетической энергии движения системы относительно центра масс: $T=\frac{1}{2}M{v}_c^2+\frac{1}{2}{\sum }_{k=1}^N{m}_k(v_k^{(r)}{)}^2$

Доказательство $Oxyz$. В качестве подвижной выберем систему $CXYZ$ в началом в центра масс - точке $C$, движущуюся поступательно вместе с центром масс.

Рассмотрим движение механической системы в неподвижной системе отсчета

Для любого момента времени положение произвольной точки $M_k$ системы по отношению к неподвижному центру $O$ определяет радиус-вектор $\overline{r_k}=\overline{r_C}+\overline{{\rho }_k},$ где $\overline{{\rho }_k}$ - радиус-вектор точки $M_k$ по отношению к центру масс $C$. Продифференцировав это равенство по времени, найдем абсолютную скорость произвольной точки системы: $\overline{v_k}=\overline{v_C}+{\overline{v_k}}^{(r)}$

60