Д2. Моменты инерции. Радиус инерции

Момент инерции материальной точки

Моментом инерции материальной точки $M$ относительно точки $O$ называется произведение массы $m$ этой точки на квадрат ее расстояния до точки $O$:

$j_O=m{r}^2$

Момент инерции механической системы

Моментом инерции механической системы относительно полюса $O$, состоящей из $N$ материальных точек $M_k$ с массами $m_k$ ($k=1,2,\dots ,N$), равен сумме моментов инерции этих точек. $J_O={\sum }_{k=1}^N{m}_k{r}_k^2$ Моментом инерции механической системы относительно оси $Ol$ называется сумма произведений масс этих точек на квадраты из расстояний до оси $Ol$. $J_l={\sum }_{k=1}^N{m}_k{h}_k^2$ Для тела, имеющего непрерывное распределение массы, имеем соответственно интегралы по массе $M$: $J_O={\int }_{(M)}{r}^{2}dm$ $J_l={\int }_{(M)}{h}^{2}dm$

Радиус инерции тела

Радиусом инерции тела относительно оси $Ol$ называется величина ${\rho }_l=\sqrt{\frac{J_l}{M}}$Тогда момент инерции можно представить как $J_l=M{\rho }_l^2$

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции системы относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс системы, и произведения массы системы на квадрат расстояния между параллельными осями. $J_{Oz}=J_{CZ}+M{d}^2$ стр. 305 Колесников

• Момент инерции стержня постоянного сечения относительно оси, проходящей через его конец: $\frac{M{l}^2}{3}$
• Момент инерции стержня постоянного сечения относительно оси, проходящей через его середину: $\frac{M{l}^2}{12}$
• Момент инерции круглого диска относительно поперечной оси: $\frac{M{R}^2}{4}$
• Момент инерции круглого диска относительно перпендикулярной оси: $\frac{M{R}^2}{2}$
• Момент инерции тонкого кольца, масса которого распределена по ободу: $M{R}^2$
• Момент инерции прямого кругового цилиндра относительно продольной оси симметрии: $\frac{M{R}^2}{2}$
• Момент инерции шара: $\frac{2}{5}M{R}^2$
• Момент инерции полого шара: $\frac{2}{5}M\frac{R^5-R_0^5}{R^3-R_0^3}$, где $M=\frac{4}{3}\pi \rho (R^3-R_0^3)$ - масса полого шара
• Для тонкой сферической оболочки: $\frac{2}{3}M{R}^2$

Суть момента инерции $j_O=m{r}^2$ заключается в том, что он количественно описывает сопротивление точки $M$ вращательному движению относительно оси, проходящей через точку $O$.

• $m$ – масса точки. Чем больше масса, тем сложнее изменить её вращательное движение.
• $r$ – расстояние от точки $M$ до оси вращения, проходящей через $O$. Чем дальше точка от оси, тем больше её вклад в момент инерции.
• $r^2$ – квадратичная зависимость от расстояния означает, что даже небольшое увеличение $r$ сильно увеличивает момент инерции.

Физический смысл: момент инерции играет ту же роль в вращательном движении, что и масса в поступательном.
Если в линейном движении масса определяет, насколько трудно разогнать или затормозить тело (через закон $F=ma$), то в вращательном – момент инерции определяет, насколько трудно изменить угловую скорость.

Таким образом, момент инерции показывает, насколько распределение массы вокруг оси влияет на её способность сопротивляться изменению углового движения.