Задача 16.4 (Шнеперман)

Конечная область целостности - поле

---

Необходимо показать, что в этой области для любого ненулевого элемента $a$ существует обратный ему элемент $x$, $a\cdot x=1$ (чтобы выполнялось определение поля)

Для этого отобразим все ненулевые элементы в себя по правилу $f_a:x\to a\cdot x$.

Это - инъекция, так как из равенства $a\cdot x=a\cdot y$ вытекает $a\cdot (x-y)=0$ и, так как это область целостности, $(x-y)=0⟹x=y$.

Инъективное отображение конечного множества в себя также является сюръекцией и, следовательно, биекцией. Поэтому для любого $y$ существует единственный элемент $x$ такой, что $y=a\cdot x$. В частности, и для $y=1$ cуществует единственный элемент $x$ такой, что $1=a\cdot x$ и недостающее требование определения поля выполнено.