Кольцо (алгебра)

Кольцо

Кольцо - множество $R$, на котором заданы две бинарные операции: $+$ и $\times$ со следующими свойствами, выполняющимися для любых $a,b,c\in R$:

1. $(R,+)$ - абелева группа
2. $\{\begin{array}{l}a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\\ (b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a)\end{array}$ - дистрибутивность

Могут быть также добавлены следующие свойства:

3. $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ - ассоциативность умножения (в этом случае кольцо называется ассоциативным)

4. $1\times a=a\times 1=a\forall a\in R$ - наличие единицы (в этом случае колько называется кольцом с единицей)

Подкольцо

Подмножество $L$ кольца $K$ называется подкольцом, если

1. $L$ является подгруппой аддитивной группы кольца $K$
2. $L$ замкнуто относительно умножеения

Делители нуля

Делителями нуля называют такие элементы $a$ и $b$ кольца $R$, что $a\ne 0$, $b\ne 0$ и $ab=0$.

Область целостности

Коммутативное кольцо с единицей $e\ne 0$, в котором нет делителей нуля, называется областью целостности С областью целостности связано понятие |поля частных области целостности

Вкладываемость колец

Говорят, что кольцо $R$ вкладывается в кольцо $T$, если существует изоморфное отображение кольца $R$ на некоторое подкольцо кольца $T$.

Задачи по теме

1. Область целостности - поле?