Поле частных области целостности

(!) AIG(DS)

---

Поле частных (или поле дробей) коммутативного кольца $R$ без делителей нуля — это наименьшее поле, содержащее $R$ в качестве подкольца.

Формальное определение:

Пусть $R$ — целостное кольцо (т.е. коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля). Рассмотрим множество пар $(a,b)$, где $a,b\in R$ и $b\ne 0$.

Введём отношение эквивалентности $\sim$ на множестве таких пар:

$$(a,b)\sim (c,d)\text{если и только если}ad=bc.$$

Классы эквивалентности $\frac{a}{b}$ образуют поле $Q(R)$, называемое полем частных кольца $R$.

Операции в $Q(R)$:

1. Сложение: $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$
2. Умножение: $$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$
3. Обратный элемент (для ненулевых дробей): $${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-1}=\frac{b}{a},a\ne 0$$

Примеры:

1. Если $R=\mathbb{Z}$, то $Q(R)=\mathbb{Q}$ (поле рациональных чисел).
2. Если $R$ — поле, то $Q(R)=R$.
3. Если $R=K[x]$ (кольцо многочленов над полем $K$), то $Q(R)=K(x)$ (поле рациональных функций).

Таким образом, поле частных позволяет “добавить” обратные элементы к ненулевым элементам кольца, превратив его в поле.

Связанное утверждение: для любой области целостности существует поле частных

---

См. также краткое определение