Подборка задач по функциональному анализу

Задача

Доказать, что $C[a,b]$ сепарабельно

Решение Пояснения: Существование аппроксимирующего многочлена - по теореме Вейерштрасса об аппроксимации Теорема Вейерштрасса об аппроксимации говорит о существовании аппроксимирующего многочлена именно с вещественными коэффициентами. Но $\mathbb{R}$ - не счётное множество, а вот $\mathbb{Q}$ - счётное множество, при этом $\mathbb{Q}$ всюду плотно в $\mathbb{R}$. Именно потому, что оно всюду плотно, мы можем приблизить $q_n(x)$ к $p_n(x)$.

Итак, мы показали, что для любой $f\in C[a,b]$ и любого $\epsilon >0$ найдется рациональный многочлен $q$ с $||f-q|{|}_{\infty }<\epsilon$ (приближаем коэффициенты каждого многочлена по отдельности). Значит, рациональные многочлены всюду плотны в $C[a,b]$.