18. Вычисление силовых функций однородного поля силы тяжести и линейной силы упругости

Для однородного поля силы тяжести

На материальную точку $M$ массой $m$ действует сила тяготения, направленная к центру Земли и равна $F=\frac{k}{r^2}$ ($r$ - расстояния от точки до центра Земли, $k$ - коэффициент, в случае Земли равный $k=mg{r}_3^2$). Введём единичный вектор $\overline{r_0}$. Тогда $\overline{F}=-\frac{k}{r^2}\overline{r_0}$ и так как $\overline{r}=r\overline{r_0}$, то $\overline{F}=-\frac{k\overline{r}}{r^3}$. Элементарная работа силы тяготения $d^{\prime }A=\overline{F}d\overline{r}=-\frac{k}{r^3}\overline{r}d\overline{r}=-\frac{k}{r^2}dr=d\left(\frac{k}{r}\right)$

Отсюда силовая функция (см. пояснение) $U=\frac{k}{r}+C_1$ А потенциальная энергия $\Pi =-\frac{k}{r}+C_2$

Для линейной силы упругости

Линейная сила упругости подчиняется закону Гука: $\overline{F}d\overline{r}=-c\overline{r}d\overline{r}$, где $c$ - коэффициент упругости, $\overline{r}$ - радиус-вектор точки $M$, отсчитываемый от точки равновесия, где силы равна нулю.

Элементарная работа этой силы $d^{\prime }A=\overline{F}d\overline{r}=-c\overline{r}d\overline{r}=d(-\frac{c{r}^2}{2})$ Интегрируя это уравнение, находим Таким образом, силовая функция и потенциальная энергия линейной силы упругости является квадратичной формой координат точки $M$, отсчитываемых от положения равновесия.