6. Теорема об изменении количества движения точки и системы материальных точек в дифференциальной и интегральной формах

[!Количество движения (импульс) материальной точки]- Количеством движения (или импульсом - что то же) материальной точки $M$ называют вектор, равный произведению массы $m$ точки на ее скорость $\bar{v}$: $\bar{q}=m\bar{v}$ Количеством движения механической системы называют вектор $\bar{Q}$, равный произведению массы $m$ точки на ее скорость $\bar{v}$: $\bar{Q}={\sum }_{k=1}^N{m}_k{\bar{v}}_k$ Вектор $\bar{Q}$ также называют главным вектором количеств движения точек материальной системы. В общем случае $\bar{Q}$ не имеет точек приложения и является свободным вектором.

[!Элементарный и полный импульсы силы]- Элементарным импульсом силы $F$, действующей в течение времени $dt$, называют вектор $d\bar{S}(\bar{F})=\bar{F}dt$. Полным импульсом силы $F$, действующей на материальную точку в течение времени $t$, называют вектор $\bar{S}(\bar{F})={\int }_0^t\bar{F}dt$

Теоремы об изменении количества движения материальной точки

Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме

Первая производная по времени от вектора количества движения точки равна равнодействующей активных сил и реакций связей, действующих на материальную точку. Формально, $\frac{\bar{d}(m\bar{v})}{dt}=\frac{d\bar{q}}{dt}=\bar{F}$

Обоснование $M$, записанного в виде $m\frac{d\bar{v}}{dt}=\bar{F}$, с учётом того, что масса точки постоянна.

Уравнение является следствием дифференциального уравнения движения материальной точки

Теорема об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме

Изменение количества движения точки за промежуток премени от 0 до $t$ равно полному импульсу равнодействующей силы, действующей на точку, за тот же промежуток времени. Формально, $m\bar{v}-m\overline{v_0}=\bar{S}(\bar{F})$

Обоснование $d(m\bar{v})=d\bar{q}=\bar{F}dt$. Интегируя это уравнение в пределах от $0$ до $t$, получаем ${\int }_{\overline{v_0}}^{\bar{v}}d(m\bar{v})={\int }_0^t\bar{F}dt$. Отсюда имеем требуемое.

Из уравнения предыдущей теоремы имеем

Теоремы об изменении количества движения механической системы

Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме

Первая производная по времени от вектора количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на материальные точки этой системы. $\frac{d\bar{Q}}{dt}={\overline{R}}^{(e)}.$

Доказательство

Запишем теорему о движении центра масс механической системы в виде $M(d{\bar{v}}_C)={\overline{R}}^{(e)},$ откуда получим $\frac{d(M{\bar{v}}_C)}{dt}=\frac{d\overline{Q}}{dt}={\overline{R}}^{(e)}.$ Окончательно имеем $\frac{d\bar{Q}}{dt}={\overline{R}}^{(e)}.$

Теорема об изменении количества движения механической системы в интегральной форме

Изменение количества движения за время $t$ равно векторной сумме полных импульсов внешних сил, действующих на точки механической системы за то же время. $\overline{Q}-{\overline{Q}}_0={\sum }_{k=1}^N{\overline{S}}_k^{(e)}.$

Доказательство

Запишем теорему о движении центра масс механической системы в виде $M(d{\bar{v}}_C)={\overline{R}}^{(e)},$ откуда получим $\frac{d(M{\bar{v}}_C)}{dt}=\frac{d\overline{Q}}{dt}={\overline{R}}^{(e)}.$ Окончательно имеем $\frac{d\bar{Q}}{dt}={\overline{R}}^{(e)}.$

Из теоремы об изменении количества движения в дифференциальной форме получим другую форму записи: $d\overline{Q}={\sum }_{k=1}^N{\overline{F}}_k^{(e)}={\sum }_{k=1}^{N}d\overline{S}({\overline{F}}_k^{(e)}).(\ast )$ Таким образом, дифференциал количества движения механической системы равен сумме элементарных импульсов внешних сил, действующих на материальные точки системы.

Проинтегрировав $(\ast )$ по времени в пределах от $0$ до $t$ и поменяв местами операции интегрирования и суммирования, получим: \int_{\overline{Q}_{0}}^\overline{Q} d \overline{Q} = \int_{0}^t \sum_{k=1}^{N} \overline{F}_{k}^{(e)} dt = \sum_{k=1}^N \overline{S}_{k}^{(e)}, $\overline{Q}-{\overline{Q}}_0={\sum }_{k=1}^N{\overline{S}}_k^{(e)}.$ Здесь $\overline{Q}$, ${\overline{Q}}_0$ - соответственно количества движения механической системы в произвольный и начальный моменты времени; ${\overline{S}}_k^{(e)}$ - полный импульс внешней силы, действующий на $k$-ю материальную точку.