4. Центр масс системы материальных точек. Теорема о движении центра масс.

Механическая система. Центр масс механической системы.

Механическая система - это совокупность материальных точек, положение или движение каждой из которых определяется положением или движением других точек из этой совокупности.

Статический момент массы механической системы относительно какой-либо точки $O$ равен произведению массы системы $M={\sum }_{k=1}^N{m}_k$ на радиус-вектор центра масс $\overline{r_C}$: $\overline{S_O}={\sum }_{k=1}^N{m}_k\overline{r_k}=M\overline{r_C}$ Из последнего уравнения можно выразить $\overline{r_O}=\frac{\left({\sum }_{k=1}^N{m}_k\overline{r_k}\right)}{M}$ (получили радиус-вектор центра масс). Из этого уравнения проецированием на оси прямоугольной декартовой системы координат получаем выражения для вычисления координат центра масс механической системы: Статический момент массы механической системы характеризует распределение массы относительно выбранной точки, оси или плоскости.

Теорема о движении центра масс

Центр масс механической системы движется как материальная точка, как бы обладающая массой системы, под действием системы всех внешних сил, действующих на точки системы. В формульном виде: $M\overline{a_c}=\sum {\overline{F}}_{внеш}$

Обоснование

Запишем уравнения движения механической системы в виде $m_k\overline{a_k}={\overline{F_k}}^{(e)}+{\overline{F_k}}^{(i)}(k=1,2,\dots ,N),$ где $\overline{a_k}$ - ускорение $k$-й точки, ${\overline{F_k}}^{(e)}$, ${\overline{F_k}}^{(i)}$ - равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на $k$-ю точку.

Суммируя эти уравнения по всем точкам механической системы, получаем ${\sum }_{k=1}^N{m}_k\overline{a_k}={\sum }_{k=1}^N{\overline{F_k}}^{(e)}+{\sum }_{k=1}^N{\overline{F_k}}^{(i)}.(\ast )$ Здесь главный вектор внутренних сил ${\overline{R}}^{(i)}={\sum }_{k=1}^N{\overline{F_k}}^{(i)}=0$. Продифференцировав дважды по времени выражение для вектора центра масс $(\overline{r_O}=\frac{\left({\sum }_{k=1}^N{m}_k\overline{r_k}\right)}{M})$, получим $M\overline{v_C}={\sum }_{k=1}^N{m}_k\overline{v_k}$ $M\overline{a_C}={\sum }_{k=1}^N{m}_k\overline{a_k}$

C учётом последнего уравнения уравнение $(\ast )$ примет вид $M\overline{a_C}={\sum }_{k=1}^N{\overline{F_k}}^{(e)}={\overline{R}}^{(e)}$, где ${\overline{R}}^{(e)}$ - главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему.