Вопрос 6

Неравенство Клаузиуса и энтропия. Закон возрастания энтропии. Статистическая интерпретация энтропии. Формула Больцмана для энтропии.

---

Энтропия

Допустим, что процесс, совершаемый в системой - квазистатический. Неравенство Клаузиуса справедливо [в том числе] и для такого процесса. Более того, в квазистатическом процессе в силу его обратимости имеем равенство $\oint \frac{\delta Q}{T}=0$ Пусть система может переходить из начального состояния $1$ в конечное состояние $2$ несколькими способами, каждый их которых является квазистатическим процессом. Возьмем два из них - $I$ и $II$. Эти процессы можно объединить в один квазистатический круговой процесс $1I2II1$. Применим к нему равенство Клаузиуса: ${\int }_{1I2}\frac{\delta Q}{T}+{\int }_{2II1}\frac{\delta Q}{T}=0$ ${\int }_{1I2}\frac{\delta Q}{T}-{\int }_{1II2}\frac{\delta Q}{T}=0$ ${\int }_{1I2}\frac{\delta Q}{T}={\int }_{1II2}\frac{\delta Q}{T}$ Итак, приведенное количество тепла, квазистатически полученное системой, не зависит от пути перехода, а определяется лишь начальным и конечным состояниями системы. Это означает, что $\frac{\delta Q}{T}$ - полный дифференциал некоторой функции состояния $S$, то есть существует такое $S$, что $dS=\frac{\delta Q}{T}$ Эта функция $S$ и называется энтропией.

Закон возрастания энтропии

Статистическая интерпретация энтропии, формула Больцмана для энтропии

Пусть $V_0$ - объем всего сосуда, а $V$ - объём какой-либо его части. Вероятность того, что какая-либо молекула попадет в объем $V$, равна $\frac{V}{V_0}$, а вероятность того, что в объеме $V$ окажутся все $N$ молекул идеального газа, представится выражением $P={\left(\frac{V}{V_0}\right)}^N$ Больцман ввёл гипотезу, что между энтропией системы $S$ в каждом состоянии и вероятностью $P$ того же состояния должна существовать однозначная связь. Пусть эта связь выражается формулой $S=f(P)$, где $f(P)$ - одна и та же для всех тел, в каких бы состояниях они не находились.

Решение функционального уравнения дает результат $f(P)=k\ln P+C$. Подставляя уравнение в исходное 80.2, делаем вывод, что $C=0$, откуда $S=f(P)=k\ln P.$ (формула Больцмана для энтропии)